El rincón del profesor - Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Se ha denominado movimiento rectilíneo uniformemente acelerado a aquel movimiento que describe una partícula de modo que son constantes las variaciones del vector velocidad en la unidad de tiempo, es decir aquel cuya aceleracion permanece constante.

Dado que la velocidad no permanece constante pero sí sus variaciones podremos escribir:

$a = \frac {\Delta v}{\Delta t} = \frac {v_2 - v_1 }{ t_2 - t_1 }$

Si consideramos que en un instante cualquiera $t$ el móvil lleva una velocidad $v$ , y fue $v_0$ la velocidad con la que inició el movimiento, es decir la que tuvo en el instante $t =0$ , tendremos:

$a = \frac {v - v_0 }{ t - 0 }$

o lo que es igual

$v = v_0 + a t$

obteniendo para la velocidad una función lineal de $t$ en la cual es la aceleración $a$ el coeficiente de la variable. Al representar la recta obtenida tendremos en cuenta que su pendiente igual a $a$

Por otra parte, podremos calcular la velocidad media $v_m$ de la partícula dividiendo el espacio total recorrido por el tiempo empleado en recorrerlo, es decir:

$v_m = \frac {x - x_0 }{ t - 0 }$

y por lo tanto

$x = x_0 + v_m t$

Por otra parte, dado que las variaciones de la velocidad son directamente proporcionales al tiempo, podremos escribir para la velocidad media:

$v_m = \frac {v + v_0 }{ 2 }$

y sustituyendo en la ecuación precedente:

$x = x_0 + \frac {v + v_0 }{ 2 } t$

Sustituyendo $v$ por su valor en función de la aceleración y del tiempo:

$x = x_0 + \frac { v_0 + a t + v_0 }{ 2 } t$

$x = x_0 + \frac { 2 v_0 + a t }{ 2 } t$

con lo cual

$x = x_0 + \frac { 2 v_0 }{2} t +\frac {a t }{ 2 } t$

$x = x_0 + v_0 t +\frac {1}{2} a t^2$

Como vemos, la ecuación obtenida para el espacio recorrido en un instante $t$ es una función del cuadrado del tiempo, y su representación gráfica en función del tiempo será una parábola, cuya tangente en cada punto tendrá por pendiente el valor de la velocidad.

Si eliminamos el tiempo entre las ecuaciones de la velocidad y del espacio:

$v = v_0 + a t$

$x = x_0 + v_0 t + \frac {1}{2} a t^2$

$t = \frac {v - v_0 }{a }$

$x - x_0 = \Delta x= v_0 t + \frac {1}{2} a t^2$

sustituyendo $t$ por el valor obtenido en la ecuación de la velocidad

$\Delta x= v_0 \frac {v - v_0}{a } + \frac {1}{2} a (\frac {v - v_0 }{a })^2$

$2 a \Delta x = - v_0^2 + v^2$

$v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta x$

Representaciones gráficas

Podremos estudiar algunos ejemplos frecuentes

Determinación gráfica del espacio

El espacio recorrido puede determinarse gráficamente en la representación gráfica $v-t$ , con $v$ en $ms^{-1}$ y $t$ en $s$ .

Veamos como el área comprendida por la gráfica $v-t$ y el eje de tiempos nos suministra el valor del espacio recorrido por el móvil.

Lo primero que habrá que hacerse es encontrar el tipo de movimiento que se produce en cada intervalo de tiempo en el que se mantiene constante el tipo de movimiento. En este caso, podremos parcelar el estudio del movimiento en tres intervalos distintos:

Intervalos de tiempo	Tipo de movimiento	Variación de velocidad	Área comprendida entre la gráfica y el eje de tiempos
$0- t_1$	Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado $a>0$	$v_1 - v_0 >0$	Área del rectángulo + área del triángulo = $v_0 t_1 + (v - v_0 ) t / 2 =$ $v_0 t_1 + a t t/2 =$ $v_0 t_1 + \frac{1}{2} a t^2$ que es la ecuación del espacio.
$t_1 - t_2$	Movimiento rectilíneo y uniforme	$\Delta v = 0$ $v= const.$	Área del rectángulo = $v_1 (t_2 - t_1)$ que es la ecuación del espacio para ese tramo del movimiento.
$t_2 - t_3$	Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado con $a<0$	$\Delta v < 0$ pues $0 - v <0$	Área del triangulo = $\frac{1}{2} (t_3 - t_2) v$ . Pero el área de este triángulo es igual al área del paralelogramo comprendido por $(t_3 - t_2)$ y $v$ menos el otro triángulo en ese paralelogramo: $v (t_3 - t_2) - \frac{1}{2} (t_3 - t_2) (0 - v) =$ $v (t_3 - t_2) - \frac{1}{2} (t_3 - t_2)^2 \frac {(0 - v)} {(t_3 - t_2)} =$ $v (t_3 - t_2) - \frac{1}{2} a (t_3 - t_2)^2$ que es la ecuación del espacio para ese tramo del movimiento.